Системы линейных уравнений: подстановка и сложение на одних задачах

Решить систему линейных уравнений — значит найти значения переменных, которые одновременно подходят каждому уравнению. Если пара чисел удовлетворяет только одной строке, она не является решением всей системы. Начинать удобно с одного примера, разобранного двумя способами: подстановкой и сложением.

Что означает совместное выполнение

Пусть x + y = 7 и 2x − y = 5. Пара x = 3, y = 4 подходит первой строке, но во второй даёт 2, а не 5. Значит, проверка не пройдена. Искомую пару нужно подставить в обе строки отдельно. Геометрически каждое линейное уравнение с двумя переменными задаёт прямую, если его коэффициенты не образуют вырожденный случай. Общая точка двух прямых соответствует общему решению. Эта модель объясняет, почему система может иметь одну пару, не иметь решений или иметь бесконечно много.

Метод подстановки

В первой строке выразим y = 7 − x. Подставим это выражение вместо y во вторую строку: 2x − (7 − x) = 5. Раскрываем скобки: 3x − 7 = 5. Получаем x = 4, затем y = 3.

Метод удобен, когда одну переменную легко выразить без дробей. Но дроби сами по себе не делают его неверным: важно сохранить равенство на каждом шаге.

Метод сложения на той же системе

Сложим левые и правые части уравнений. В выражении y + (−y) переменная сокращается, остаётся 3x = 12. Значит, x = 4. Подставляем в первую строку и получаем y = 3. Ответ тот же, потому что решалась исходная система. Если коэффициенты не противоположны, можно умножить всё уравнение на ненулевое число. Например, для 2x + 3y = 11 и 4x − 3y = 1 сложение сразу исключает y. Получаем 6x = 12, x = 2 и y = 7/3. Умножать только отдельный член строки нельзя: это изменит уравнение.

Как проверять и замечать особые случаи

Для первой системы проверка: 4 + 3 = 7 и 2·4 − 3 = 5. Записывайте обе, особенно если в решении были отрицательные числа или дроби. Проверка по преобразованной строке менее надёжна, чем по исходной: в преобразование могла попасть ошибка. Система x + y = 2 и 2x + 2y = 5 не имеет решений: удвоенная первая строка противоречит второй. А x + y = 2 и 2x + 2y = 4 задают одну и ту же связь, поэтому решений бесконечно много. Полученное 0 = 0 не даёт отдельной пары чисел, а показывает зависимость строк.

Упражнение и следующий шаг

Решите x + y = 9 и x − y = 1. Сложение даёт 2x = 10, значит, x = 5 и y = 4. Объясните, почему в этом примере сложение короче подстановки, и всё равно выполните проверку обеих строк. Если школьник понимает метод, но регулярно теряет минус или забывает найти вторую переменную, полезна короткая работа по конкретной ошибке. Репетитор по математике для 7 класса может разобрать несколько собственных решений ученика и подобрать последовательность упражнений от уравнения к системе.

Читайте также: Линейные уравнения: понятный алгоритм решения и проверка корня.