Синус и косинус: объяснение через треугольник и единичную окружность

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, а косинус — прилежащего катета к гипотенузе. Главное — сначала выбрать угол: один и тот же катет будет прилежащим для одного острого угла и противолежащим для другого. Разберём это на треугольнике со сторонами 3, 4 и 5.

Назовите стороны относительно угла

Гипотенуза лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной прямоугольного треугольника. Две остальные стороны — катеты. Выберите острый угол α, напротив которого лежит катет длиной 3. Тогда рядом с этим углом расположен катет длиной 4, а гипотенуза равна 5.

Для выбранного угла получаем sin α = 3/5 и cos α = 4/5. Если перейти ко второму острому углу β, роли катетов поменяются: sin β = 4/5, cos β = 3/5. Запоминать буквы возле вершин без рисунка неудобно: лучше каждый раз обозначать нужный угол и его стороны.

Почему размер треугольника не меняет отношение

Увеличим все стороны вдвое: получим 6, 8 и 10. Для соответствующего угла синус равен 6/10 = 3/5, косинус 8/10 = 4/5. Подобные прямоугольные треугольники сохраняют углы и отношения соответствующих сторон. Поэтому эти отношения описывают угол, а не конкретный размер рисунка.

Тангенс того же угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg α = 3/4. Он также равен sin α / cos α, когда знаменатель не равен нулю. Не смешивайте знаменатели: для синуса и косинуса в треугольнике используется гипотенуза, для тангенса — прилежащий катет.

Переход к единичной окружности

На окружности радиуса 1 точка, полученная поворотом от положительного направления оси x на угол α, имеет координаты (cos α; sin α). Косинус соответствует горизонтальной координате, синус — вертикальной. Это определение позволяет говорить об углах за пределами прямоугольного треугольника.

Во второй четверти x отрицателен, y положителен: косинус отрицателен, синус положителен. В третьей отрицательны оба, в четвёртой косинус положителен, синус отрицателен. Не переносите правило «отношение положительных длин» на любые углы: треугольное определение было дано для острого угла.

Основное тригонометрическое тождество

На единичной окружности x² + y² = 1. Подставляя координаты, получаем cos² α + sin² α = 1. В прямоугольном треугольнике тот же результат следует из теоремы Пифагора после деления равенства на квадрат гипотенузы.

В нашем примере (3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1. Тождество помогает находить неизвестную функцию, но не выбирает знак за нас. Знак зависит от четверти или ограничения на угол в условии.

Две задачи с объяснением

Задача первая: угол острый, sin α = 3/5. Тогда cos² α = 1 − 9/25 = 16/25. Косинус острого угла положителен, поэтому cos α = 4/5. Запись только «плюс-минус 4/5» не завершает решение с учётом данного условия.

Задача вторая: угол во второй четверти, sin α = 3/5. Вычисление квадрата то же, но косинус отрицателен: cos α = −4/5. Если не проверить четверть, верное преобразование даст неверный окончательный ответ.

Начинайте с рисунка, отношения сторон и знаков на окружности. Таблицы значений и преобразования проще осваивать после этой основы. Репетитор по математике для 5–11 классов поможет определить, где возникла трудность: в дробях, подобии, теореме Пифагора или переходе к окружности.

По теме: Как понять геометрию: почему «не идёт» и что делать в 7, 8 и 9 классе; Справочные материалы ЕГЭ по математике: что дают в КИМ.