Нули функции: как находить по формуле и графику

Нули функции — значения аргумента x, при которых значение функции равно нулю: f(x) = 0. На графике это точки с координатой y = 0, то есть пересечения или касания оси x. В ответе обычно указывают значения x, а не пары координат, если вопрос не требует другого.

По формуле: решаем уравнение

Для f(x) = 2x − 6 запишем 2x − 6 = 0. Получаем 2x = 6, x = 3. Проверка: f(3) = 6 − 6 = 0. Значит, нуль функции — 3, а соответствующая точка графика — (3; 0).

Для f(x) = x² − 4 получаем x² = 4, поэтому нули равны −2 и 2. Подставьте оба значения. Ответ только 2 был бы неполным: квадрат отрицательного числа тоже может равняться четырём.

Сначала проверьте область определения

У функции f(x) = (x − 2)/(x + 3) знаменатель не должен быть нулём, поэтому x ≠ −3. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю и знаменатель определён: x = 2 подходит, потому что 2 + 3 ≠ 0.

Нельзя назвать −3 нулём функции только потому, что в записи появился нуль в знаменателе. В этой точке функция не определена. Для корней, логарифмов и других выражений ограничения рассматривают по соответствующим правилам.

Как читать график

Сначала прочитайте масштаб. Одна клетка не всегда означает единицу. Если точка на оси показана приблизительно, нельзя выдавать точное число без достаточных данных или указаний задачи.

Нули и промежутки знакопостоянства

Нули помогают разделять область определения на части, но не говорят автоматически, где функция положительна. Для x² − 4 значения положительны при x < −2 и x > 2, отрицательны между корнями. Это можно проверить подстановкой точек из соответствующих промежутков.

На графике положительные значения находятся выше оси x, отрицательные — ниже. Не путайте знак аргумента с величиной функции: при отрицательном x значение y может быть положительным.

Самопроверка и дальнейшая практика

Найдите нули 3x + 9 и x² − 9. Ответы: −3; −3 и 3. Затем объясните, почему функция 1/(x − 2) не имеет нулей: числитель не равен нулю, а x = 2 не входит в область определения.

Если ученик умеет решать уравнение, но ошибается при чтении графика, на занятиях с репетитором по математике для 5–11 классов можно разобрать именно этот переход. Покажите несколько решений и уточните класс: тема должна соответствовать уже изученным функциям.

Ещё два случая для проверки границ метода

У функции √(x − 1) область определения x ≥ 1, нуль равен 1. У функции x² + 1 действительных нулей нет: квадрат неотрицателен, а прибавление единицы делает значение положительным. Вместе с примерами и заданиями выше это восемь разборов; в каждом начинайте с области определения.

Продолжить разбор: Как подготовиться к олимпиаде по математике: план на год для 5–6 класса.

Ещё практические материалы: Дроби на рисунках и числовой прямой: объясняем смысл, а не только правила; Линейные уравнения: понятный алгоритм решения и проверка корня.