Экономическая задача ЕГЭ: как составить таблицу платежей

Экономическую задачу ЕГЭ по математике начинают с графика изменений: когда начисляются проценты, когда вносится платёж и каким становится долг. Таблица помогает не потерять порядок действий. Одни и те же слова «кредит на два года» могут описывать разные модели, поэтому сначала разберите все условия.

Какие величины записать

Обозначьте исходную сумму, ставку, число периодов, долг перед начислением, долг после начисления и платёж. Сразу договоритесь о единицах: рубли, тысячи или миллионы. Ставку 10% в умножении удобно записывать коэффициентом 1,1 для увеличения долга.

Не смешивайте проценты за год и за месяц. Если задача задаёт определённый порядок начисления, используйте его буквально. Реальные банковские продукты могут рассчитываться иначе; здесь рассматривается учебная математическая модель.

Пример с равным уменьшением долга

Условный кредит — 100 000 рублей на два года. В начале каждого года долг увеличивается на 10%, затем вносится платёж. После первого платежа основной долг должен стать 50 000 рублей, после второго — нулём.

В первом году после процентов получаем 110 000 рублей. Чтобы осталось 50 000, нужно заплатить 60 000. Во втором году долг увеличивается до 55 000, значит второй платёж — 55 000. Общая сумма платежей — 115 000 рублей, превышение над исходной суммой — 15 000.

Равное уменьшение основного долга здесь не означает равных платежей. Проценты начисляются на разные остатки, поэтому величина платежа меняется. Именно это различие часто теряется при попытке сразу применить знакомую формулу.

Пример с равными платежами

Теперь исходная сумма та же, ставка и порядок начисления те же, но оба ежегодных платежа равны x. После первого платежа остаётся 110 000 − x. Во втором году долг перед платежом составляет 1,1(110 000 − x). После второго платежа он должен стать нулём.

Получаем уравнение 1,1(110 000 − x) − x = 0. Отсюда 121 000 − 2,1x = 0, поэтому x = 121 000 / 2,1, примерно 57 619,05 рубля. Дробный результат в этом придуманном примере допустим для объяснения модели; в конкретной задаче соблюдайте требуемую форму ответа.

Сравните два примера: совпадают исходные данные, но различается условие о платежах. Из-за этого меняется модель. Нельзя использовать результат первого случая во втором без нового уравнения.

Как проверить решение

Проведите сумму через все строки таблицы. Долг после последнего платежа должен соответствовать условию. Убедитесь, что каждый платёж и остаток имеют смысл, а ставка применена к нужной базе. Если спрашивают переплату, не выдавайте общую сумму выплат за ответ.

• Не начисляйте проценты после платежа, если в условии указан обратный порядок.
• Не заменяйте процентное увеличение простым прибавлением числа ставки.
• Не путайте равные платежи и равные уменьшения долга.
• Не теряйте множитель 1000 при работе в тысячах рублей.

Как тренироваться

Сначала научитесь строить таблицу для небольшого числа периодов. Затем вводите неизвестную величину: сумму, платёж, ставку или срок. После каждого решения объясняйте, из какого условия получено уравнение. Такая связь важнее механического запоминания формулы одного типа.

На курсе ЕГЭ по математике полезно показывать преподавателю модель до длинных вычислений. Ошибка в порядке начисления делает бесполезной даже аккуратную арифметику. Учебная подготовка здесь связана с математикой и оформлением решения; это не рекомендация по выбору кредита или финансового продукта.

По теме: Как подготовиться к профильной математике с 10 класса: план по темам на два года.

Материалы для проверки и продолжения: ФИПИ: демоверсии, спецификации и кодификаторы ЕГЭ.